Происходит от ныне вышедшего из употребления выражения «покрывало Изиды». В Древнем Египте богиня Изида (жена Осириса, «умирающего и воскресающего бога») почиталась как хранительница сокровенных тайн природы и олицетворение ее жизненных сил. На храме Изиды в городе Саис была надпись: «Я то, что было, есть и будет: никто из смертных не приподнимал моего покрывала».
Выражение «покрывало Изиды» вошло в обиход после выхода в свет стихотворения немецкого поэта-романтика Иоганна Фридриха Шиллера «Закрытая статуя в Саисе» («Das verschleierte Bild zu Sais»). В нем жреи саисского храма объясняет своему ученику, что за покрывалом, скрывающим статую Изиды, таится сама истина. Но никто не смеет коснуться этого покрывала, и только сама богиня может сделать это - явить миру истину.
Выражение «покрывало Изиды» употреблялось в смысле: покров (завеса) тайны, скрывающий некие откровения, неизвестные истины. Соответственно приподнять (поднять и т. п.) «покрывало Изиды» - познать эти истины. Гилберт Честертон (рассказ «Небесная стрела»): «Он мистик-любитель, - с наивной готовностью отозвался Браун. - Их сейчас сколько угодно. Знаете, из тех, что сидят в парижском кафе или в кабаре и морочат вам голову, будто сорвали покрывало Изиды или открыли тайну Стоунхэджа (доисторические каменные сооружения неизвестного назначения в Англии. - Сост.). Для такого случая у них всегда найдется какое-нибудь мистическое объяснение».
Отсюда «приподнять завесу тайны» - поделиться тайной, рассказать нечто доселе неизвестное и т. д.